ポアンカレ予想をわかりやすく

ポアンカレ予想を文字で簡潔に書くと「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というもの。

もはや文章の意味すらわからん。

一般人としては解けなくていいから、意味ぐらいは理解したいじゃないですか。

ということで本記事を読むと「単連結な2次元閉多様体は2次元球面に同相である」といえる。という入門編というか初歩までは理解できるようになります。そのレベルは理解してるって人は本記事を読む必要はありません。またの機会によろしくです。

フランスの数学者ポアンカレさん（1854～1912）は、トポロジーを数学の一分野として大きく発展させる土台をつくりました。1904年に彼が予想したのがポアンカレ予想。それではまずトポロジーについて以下に。

トポロジーとは何か？
- - トポロジークイズを１つ
ポアンカレ予想をわかりやすく
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トポロジーとは何か？

まずドーナツとコーヒーカップは同じ形をしている。という説明。以下のフォトを見れば理解いただけるかと。

トポロジーとは日本語で「位相幾何学」という。「幾何学」とは図形について考える数学。どういう図形をどのような規則で分類するかという。トポロジーではコーヒーカップとドーナツは同じ図形（＝同相）とみなされる。伸び縮みさせることで移り変わることができるから。

ちなみに取っ手が2つあるなべは、穴が2つあるので、別の図形とみなされる。

電車の「路線図」もトポロジー。伸ばしても縮めても駅の並びは変わらない。

トポロジークイズを１つ

（答え）

ここまでよろしいでしょうか。なんとなくトポロジーはご理解いただけたかと。

それではポアンカレ予想(入門編）いきます。

ポアンカレ予想をわかりやすく

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」

順番にゆっくりみていきます。

まず多様体とは

ある性質を満たす図形や空間のこと。ここでは「全体のうちの一部は認識できるが、全体像ははっきりとはわかならい図形や空間」と考える。

たとえば地球。

せまい範囲をみれば地球の表面は平らな面のようにみえる。トポロジーの世界では、地球のような球体の表面（＝球面）は「2次元多様体」に分類される。

つぎに閉多様体とは

多様体の中で、大きさが有限の多様体のことを指す。

2次元閉多様体とは、大きさが有限で、せまい範囲にかぎれば平らな面のようにみえる図形のことである。フォークも椅子もグラスも鉛筆も穴があいておらず、トポロジーの考えにしたがうと、これらの表面はすべて2次元球面と同相（＝同じ図形）である。コーヒーカップや鍵には穴が一つあり、これらの表面はトーラスと同相である。

そして２次元多様体のうち、最もシンプルな構造をもつ球体の表面のことをとくに「2次元球面」という。たとえばトポロジーでは、地球、ボール、サイコロといった立体の表面はすべて2次元球面と同じとみなす。

単連結とは何か？

ある図形にひもをかけたとき、そのひもをたぐりよせると必ず手元の1点に集めることができるということを意味する。ひもは一瞬でも球面上を離れてはいけない。

つまり「2次元球面は単連結である」といえるわけだ。

一方でトーラスの場合は、ひものかけ方によっては1点に集めることができない。トーラスのように穴が1個以上開いた2次元閉多様体は「単連結ではない」といえる。

ポアンカレ予想とは何か？

ここまで述べたように、穴の開いていない2次元閉多様体は、それがどんな形であろうと、ひもを回収して1点に集めることができる（単連結である）。また必ず2次元球面に変形することができるので、「単連結な2次元閉多様体は、2次元球面に同相（＝同じ図形）である」といえる。

ここまでが冒頭に書いた入門編です。ご理解頂けたでしょうか？

そしてさらにポアンカレさんは次のように考察を進めます。「単連結な2次元閉多様体は、2次元球面に同相であるという性質は、次元を一つ高めた3次元閉多様体においてもなりたつのではないだろうか」。つまり「単連結3次元閉多様体は、3次元球面だけなのではないだろうか」。これこそがポアンカレ予想であり、「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面に同相である」の意味するところなのです。

本項は以下の書籍から一部を抜粋しました。包括的に理解されたい方はご一読ください。

別冊　次元とは何か (ニュートンムック)

ポアンカレのページを一部貼っときます。